Question

【題目】已知函數(shù).

（1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù).若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，減區(qū)間為,；當(dāng)時，減區(qū)間為；當(dāng)時，減區(qū)間為,（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導(dǎo)，討論a=1，a＞1.0＜a＜1，利用導(dǎo)數(shù)為負，求函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）要求存在區(qū)間，使f（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）-2，k（n+2）-2]，將其轉(zhuǎn)化為g（x）=k（x+2）-2在上至少有兩個不同的正根，再利用導(dǎo)數(shù)求出k的取值范圍

試題解析：（Ⅰ） 的定義域為，

①當(dāng)時， .

由得或.∴當(dāng)， 時， 單調(diào)遞減.

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,.

②當(dāng)時，恒有，∴單調(diào)遞減.

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.

③當(dāng)時， .

由得或.∴當(dāng)， 時， 單調(diào)遞減.

∴的單調(diào)遞減區(qū)間為,.

綜上，當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為,；

當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為,.

（Ⅱ）當(dāng)時， ， ，

當(dāng)時， ，∴在上單調(diào)遞增.

又在上恒成立.

在上單調(diào)遞增.

由題意，得

原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.

即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.

令函數(shù).

則. 令函數(shù).

則在上有.

故在上單調(diào)遞增.

，

當(dāng)時，有即.∴單調(diào)遞減；

當(dāng)時，有即，∴單調(diào)遞增.

， ，

的取值范圍為