Question

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設數(shù)列{b_n}滿足，記T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和．求證：2T_n+1＜log₂（a_n+3）

Answer 1

（I）解：n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}為等差數(shù)列，
∵a₁=2，
∴a_n=3n-1．
（II）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足，
∴
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
要證2T_n+1＜log₂（a_n+3），即證＜log₂（a_n+3）
即證
即證
令，
∴
∵c_n＞0，∴c_n+1＜c_n，
∴{c_n}是單調遞減數(shù)列
∴
∴
故2T_n+1＜log₂（a_n+3）．
分析：（I）n=1時，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2時，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（II）根據(jù)數(shù)列{b_n}滿足，可得，從而T_n=b₁+b₂+…+b_n=，利用分析法證明．要證2T_n+1＜log₂（a_n+3），即證＜log₂（a_n+3），即證，構造函數(shù)，可得{c_n}是單調遞減數(shù)列，即可證出結論．
點評：本題考查數(shù)列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．