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設函數f(x)=a2lnx-4x,g(x)=bx2(a≠0,b≠0,a,b∈R).
(Ⅰ)當b=
3
2
時,函數h(x)=f(x)+g(x)在x=1處有極小值,求函數h(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數f(x)和g(x)有相同的極大值,且函數p(x)=f(x)+
g(x)
x
在區(qū)間[1,e2]上的最大值為-8e,求實數b的值(其中e是自然對數的底數).
分析:(1)當b=
3
2
時,根據h(x)的解析式求得h′(x),再由h'(1)=0,求得a2的值,從而確定h′(x),再由h′(x)>0,求得函數h(x)的增區(qū)間.
(2)根據g(x)=bx2有極大值,可得b<0且(g(x))極大值=0.利用導數求的 (f(x))極大值=f(
a2
4
)=a2ln
a2
4
-a2=0
,可得 a2=4e,從而得到 p(x)=
4elnx-4x+bx,p′(x)=
4e
x
-4+b=0 ⇒ x=
4e
4-b
<e
.再分當
4e
4-b
≤1
、當1<
4e
4-b
<e
兩種情況,依據p(x)在區(qū)間[1,e2]上的最大值為-8e,求實數b的值.
解答:解:(1)當b=
3
2
時,∵h(x)=a2lnx-4x+
3
2
x2⇒h′(x)=
a2
x
-4+3x
,由題意可得h'(1)=0,∴a2=1,
h′(x)=
1
x
-4+3x=
(3x-1)(x-1)
x
(x>0)

∴當x∈(0,
1
3
)
時,h'(x)>0⇒h(x)遞增; 當x∈(1,+∞)時,h'(x)>0⇒h(x)遞增,
∴h(x)的遞增區(qū)間為(0,
1
3
)
、(1,+∞).
(2)g(x)=bx2有極大值,則b<0,且(g(x))極大值=0.
∵f(x)=a2lnx-4x,f′(x)=
a2-4x
x
,
x∈(0,
a2
4
)
時,f'(x)>0,當x∈(
a2
4
,+∞)
時,f'(x)<0,
(f(x))極大值=f(
a2
4
)=a2ln
a2
4
-a2=0
,∴
a2
4
=e,∴a2=4e,
p(x)=f(x)+
g(x)
x
=4elnx-4x+bx,令 p′(x)=
4e
x
-4+b=0 ⇒ x=
4e
4-b
<e

(i) 當
4e
4-b
≤1
,即b≤4-4e時,由p'(x)≤0⇒p(x)遞減,∴(p(x))max=p(1)=-4+b=-8e,∴b=4-8e<4-4e,符合題意.
(ii) 當1<
4e
4-b
<e
,即4-4e<b<0時,
x∈[1,
4e
4-b
)
時,p'(x)>0⇒p(x)遞增,當x∈(
4e
4-b
,e)
時,p'(x)<0⇒p(x)遞減,
(p(x))max=p(
4e
4-b
)
=4e•ln
4e
4-b
-4•
4e
4-b
+b•
4e
4-b
=-8e,花間得 ln
4e
4-b
-
4
4-b
+
b
4-b
=-2,即 ln
4e
4-b
=-1,即
4e
4-b
=
1
e
,
求得 b=4-4e2<4-4e,不符合題意,舍去.
綜上所述,b=4-8e.
點評:本題主要考查對數函數的圖象和性質綜合應用,利用導數研究函數的單調性,根據函數的單調性求函數的極值,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=x-aex-1
(Ⅰ)求函數f(x)單調區(qū)間;
(Ⅱ)若f(x)≤0對x∈R恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)對任意n的個正整數a1,a2,…an記A=
a1+a2+…+an
n

(1)求證:
ai
A
e
ai
A
-1
(i=1,2,3…n)(2)求證:A
na1a2an

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn和通項an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)
(q是常數且q>0,q≠1,).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)當q=
1
3
時,試證明a1+a2+…+an
1
2

(3)設函數f(x)=logqx,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),是否存在正整數m,使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
m
3
對任意n∈N*都成立?若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-
a2

(1)求證:函數f(x)有兩個零點.
(2)設x1,x2是函數f(x)的兩個零點,求|x1-x2|的范圍.
(3)求證:函數f(x)的零點x1,x2至少有一個在區(qū)間(0,2)內.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|(x∈R)四位同學研究得出如下四個命題,其中真命題的有( �。﹤€
①f(x)是偶函數;
②f(x)在(0,+∞)單調遞增;
③不等式f(x)<2010×2011的解集為∅;
④關于實數a的方程f(a2-3a+2)=f(a-1)有無數解.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2006•杭州一模)設函數f(x)=
x2
ax-2
(a∈N*),又存在非零自然數m,使得f(m)=m,f(-m)<-
1
m
成立.
(1)求函數f(x)的表達式;
(2)設{an}是各項非零的數列,若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
對任意n∈N*成立,求數列{an}的一個通項公式;
(3)在(2)的條件下,數列{an}是否惟一確定?請給出判斷,并予以證明.

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