Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x+1

x2+2

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值
（2）求f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性的變換情況求出極值；
（2）由（1）所求極大值及x＜-2時函數(shù)值的符號可判斷最大值；由極小值及x＞1時函數(shù)值的符號可判斷其最小值．

解答：解：（1）f′（x）=

-2(x+2)(x-1)

(x2+2)2

，
當(dāng)x∈（-2，1）時，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0．
故f（x）在（-2，1）單調(diào)遞增，在（-∞，-2），（1，+∞）單調(diào)遞減．
f（x）的極小值f（-2）=-

1

2

，極大值f（1）=1．
（2）由（1）知f（x）的極小值為f（-2）=-

1

2

，極大值為f（1）=1．
且當(dāng)x＜-2時f（x）＜0，所以f（x）的最大值為f（1）=1；
當(dāng)x＞1時f（x）＞0，所以f（x）的最小值為f（-2）=-

1

2

．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及函數(shù)的最值，準(zhǔn)確求導(dǎo)，熟知導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)間的關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)，注意屬性結(jié)合思想在分析問題中的應(yīng)用．