Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形,底面,,,是的中點.

(1)求證：平面平面；

(2)若與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

(1)在直角梯形ABCD中,利用勾股定理可以證明出,再利用線面垂直的性質(zhì)定理可以證明出,這樣可以利用線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

(2)設(shè)AB的中點為O,以C為空間直角坐標系原點，以所在的直線分別為軸,寫出各點的坐標,根據(jù)空間向量數(shù)量積公式,通過與平面所成角的正弦值為,可以求出點P的坐標,最后再利用空間向量數(shù)量積公式可以求出二面角的余弦值.

(1) 設(shè)AB的中點為O,如圖所示,因為,所以

,,因為,所以,又因為底面,而底面,所以,

而平面,所以平面,而平面,所以平面平面；

(2) 以C為空間直角坐標系原點，以所在的直線分別為軸,如上圖所示：設(shè),因此有：

,

設(shè)平面的法向量為：.

,

因為與平面所成角的正弦值為,所以

,所以.

設(shè)平面的法向量為,

.

設(shè)二面角的平面角為.

.