Question

已知動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內(nèi)切，另一個外切．
（1）求動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）過（2，0）作直線l交曲線E于A、B兩點，使得，求直線l的方程；
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，設(shè)|PC|=t，試用t表示，并求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內(nèi)切，另一個外切，可得點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為2的雙曲線，由此可得動圓圓心P的軌跡E的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程代入雙曲線方程，結(jié)合，可求直線l的方程；
（3）利用向量的數(shù)量積公式，表示出，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求的取值范圍．
解答：解：（1）設(shè)兩圓的圓心分別為M，N，則
∵動圓P與兩圓（x+2）²+y²=2，（x-2）²+y²=2中的一個內(nèi)切，另一個外切
∴||PM|-|PN||=2，∴點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，實軸長為2的雙曲線．
即a=，c=2，∴b=
∴所求的W的方程為x²-y²=2；
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿足題意；
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2），代入雙曲線方程，可得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由，可得k≠±1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|==2，∴k=0即l：y=0
∴直線l的方程為x=2或y=0；
（3）=cos∠APB=（t2-1）（1-2sin2APC）=（t2-1）[1-2（）²]=
又t²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18=2（y-2）²+10≥10
∴==
∵f（t）=在[，+∞）是增函數(shù)，
∴f（t）≥10+-3=7
∴的取值范圍是[7，+∞）．
點評：本題考查雙曲線方程和直線方程的求法，考查向量知識的運用，靈活運用圓錐曲線的性質(zhì)和向量數(shù)量積計算公式是解題的關(guān)鍵．