Question

已知定義在R上的單調遞增函數滿足,且。
（Ⅰ）判斷函數的奇偶性并證明之；
（Ⅱ）解關于的不等式：；
（Ⅲ）設集合,.，若集合有且僅有一個元素，求證: 。

Answer 1

（Ⅰ）函數為R上的奇函數,（Ⅱ）,（Ⅲ）見解析

試題分析：（Ⅰ）抽象函數奇偶性的證明，先令，再令可求得出函數為奇函數,（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上為奇函數，則利用單調性及與-1的關系可解得； （Ⅲ）先對進行化簡，再利用兩方程有唯一解求證.
試題解析：（Ⅰ）令,
令,,
函數為R上的奇函數.                        （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
又函數是單調遞增函數,
故                   （8分）
（Ⅲ）


,又有且僅有一個元素,即方程組有唯一解,
即僅有一個實根, ,即 （13分）