Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（3，0），過(guò)F的直線交橢圓與A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則a+b的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件可判斷出過(guò)F的直線存在斜率，并設(shè)為k，直線方程便是：y=k（x-3），帶入橢圓方程并整理得到(

1

a2

+

k2

b2

)x2-

6k2

b2

x+

9k2

b2

-1=0，根據(jù)條件可設(shè)A（x₁，k（x₁-3）），B（x₂，k（x₂-3）），根據(jù)韋達(dá)定理及AB的中點(diǎn)為（1，-1）即可求出a²=2b²，而根據(jù)焦點(diǎn)（3，0）即可求得b=3，a=3

2

，所以得到a+b=3

2

+3．

解答： 解：根據(jù)已知條件可知，過(guò)F的直線存在斜率，設(shè)為k，則該直線方程為：y=k（x-3），帶入橢圓方程并整理得：
(

1

a2

+

k2

b2

)x2-

6k2

b2

x+

9k2

b2

-1=0；
若設(shè)A（x₁，k（x₁-3）），B（x₂，k（x₂-3）），又AB中點(diǎn)為（1，-1）；
∴x1+x2=

6k2 b2

1 a2 + k2 b2

=2，①，k（x₁+x₂-6）=-4k=-2；
∴k=

1

2

，帶入①并整理可得a²=2b²；
∴a²-b²=b²=9；
∴b=3，a=3

2

；
∴a+b=3

2

+3．
故答案為：3

2

+3．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的對(duì)稱(chēng)性，直線的點(diǎn)斜式方程，韋達(dá)定理，以及橢圓的焦點(diǎn)及a²-b²=c²．