Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A（-2，-1）橢圓的左焦點為F，短軸端點為B₁、B₂，．
（1）求a、b的值；
（2）過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R．過原點O且平行于l．試求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）由題意可得 F（-c，0）、B₁ （0，-b）、B₂（0，b），
∴=（c，-b）、=（c，b）．
∵∴c²-b²=2b² ①．
由于橢圓過點A（-2，-1），∴ ②．
由①②可解得 a=2，b=．
（2）設(shè)直線l的方程為 y+1=k（x+2），由可得 （x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0．
由于x+2≠0，∴x+2=，即 x_Q+2=．
由題意可得，OP的方程為y=kx，由 可得 （1+4k²）x²=8，∴=．
∵AO•AR=3OP²，∴|x_Q-（-2）|×|0-（-2）|=3，即 ×2=3×，
解得k=1，或 k=-2．
當(dāng)k=1時，直線l的方程為 x-y+1=0．當(dāng)k=-2時，直線l的方程為 2x+y+5=0．
分析：（1）先求出 和 的坐標(biāo)，根據(jù) 以及橢圓過點A（-2，-1），列出方程組求得a、b的值．
（2）把直線l的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組求得 x_Q+2=．把OP的方程和橢圓的方程聯(lián)立方程組求得=．根據(jù)AO•AR=3OP²，求得k的值，從而求得直線l的方程．
點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，直線和圓錐曲線的關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．