(2012•廣州二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,對(duì)任意n∈N*,都有an>0且Sn=
(an-1)(an+2)
2
,令bn=
lnan+1
lnan

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)使乘積b1•b2…bk為整數(shù)的k(k∈N*)叫“龍數(shù)”,求區(qū)間[1,2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和;
(3)判斷bn與bn+1的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.
分析:(1)Sn=
(an-1)(an+2)
2
=
an2+an-2
2
,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=
a12+a1-2
2
,即a12-a1-2=0,解得a1=2,或a1=-1,由an>0,知a1=2.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
an2+an-2
2
-
an-12+an-1-2
2
,化簡(jiǎn),得(an+an-1)(an-an-1-1)=0,由an>0,知an-an-1=1,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由bn=
lnan+1
lnan
=
ln(n+2)
ln(n+1)
,知b1•b2…bk=
ln3
ln2
×
ln4
ln3
×…×
ln(k+2)
ln(k+1)
=
ln(k+2)
ln2
=log2(k+2),令log2(k+2)=m,則k=2m-2,m∈Z,由1≤2m-2≤2012,得3≤2m≤2014,故m=2,3,4,5,…,10.由此能求出區(qū)間[1,2012]內(nèi)的所有“龍數(shù)”之和.
(3)由bn=
ln(n+2)
ln(n+1)
ln(n+1)
ln(n+1)
=1
,知
bn+1
bn
=
ln(n+3)
ln(n+2)
ln(n+2)
ln(n+1)
=
ln(n+3)•ln(n+1)
[ln(n+2)]2
[
ln(n+3)+ln(n+1)
2
]2
[ln(n+2)]2
<1,故bn>bn+1
解答:解:(1)∵Sn=
(an-1)(an+2)
2
=
an2+an-2
2
,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=
a12+a1-2
2
,即a12-a1-2=0,
解得a1=2,或a1=-1,
∵an>0,∴a1=2.
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=
an2+an-2
2
-
an-12+an-1-2
2

化簡(jiǎn),得an2-an-12-an-an-1=0,
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an>0,∴an-an-1=1,
∴{an}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,
∴an=2+(n-1)=n+1.
(2)∵bn=
lnan+1
lnan
=
ln(n+2)
ln(n+1)
,
∴b1•b2…bk=
ln3
ln2
×
ln4
ln3
×…×
ln(k+2)
ln(k+1)
=
ln(k+2)
ln2
=log2(k+2),
令log2(k+2)=m,則k=2m-2,m∈Z,
由1≤2m-2≤2012,得3≤2m≤2014,
∴m=2,3,4,5,…,10.
∴在區(qū)間[1,2012]內(nèi),k的值為22-2,23-2,…,210-2,
其和為:(22-2)+(23-2)+…+(210-2)
=(22+23+…+210)-2×9
=
22(1-29)
1-2
-18=2026.
(3)∵bn=
ln(n+2)
ln(n+1)
ln(n+1)
ln(n+1)
=1
,
bn+1
bn
=
ln(n+3)
ln(n+2)
ln(n+2)
ln(n+1)

=
ln(n+3)•ln(n+1)
[ln(n+2)]2

[
ln(n+3)+ln(n+1)
2
]2
[ln(n+2)]2

=
[ln(n+3)(n+1)]2
4[ln(n+2)]2

[ln(
n+3+n+1
2
)2]2
4[ln(n+2)]2
=1,
∴bn>bn+1
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列、不等式知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2012•廣州二模)甲、乙、丙三種食物的維生素含量及成本如下表所示
食物類型
維生索C(單位/kg) 300 500 300
維生素D(單位/kg) 700 100 300
成本(元/k) 5 4 3
某工廠欲將這三種食物混合成100kg的混合食物,設(shè)所用食物甲、乙、丙的重量分別為x kg、y kg、z kg.
(1)試以x、y表示混合食物的成本P;
(2)若混合食物至少需含35000單位維生素C及40000單位維生素D,問(wèn)x、y、z取什么值時(shí),混合食物的成本最少?

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(2012•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若0<α<
π
2
,0<β<
π
2
,且f(
α
2
)=
1
3
,f(
β
2
)=
2
3
,求sin(α-β)的值.

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(2012•廣州二模)在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若
EF
=m
AB
+n
AD
(m,n∈R)
,則
m
n
的值為
-2
-2

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(2012•廣州二模)已知向量
OA
=(3,-4),
OB
=(6,-3),
OC
=(m,m+1),若
AB
OC
,則實(shí)數(shù)m的值為(  )

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(2012•廣州二模)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x+1(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若f(a)=2,則f(-a)的值為(  )

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