(2012•包頭一模)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ae-x-a,a∈R.
(Ⅰ)當a=1時,證明f(x)在(0,+∞)是增函數(shù);
(Ⅱ)若x∈[0,+∞),f(x)≥0,求a的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo)函數(shù),當a=1時,可得f(x)=
ex-(1+x)
ex(1+x)
,構(gòu)造西紅柿g(x)=ex-1-x,確定g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),從而可得x∈(0,+∞)時,g(x)>g(0)=0,由此可得x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,得證;
(2)由于函數(shù)的最值不好確定,故進行適當?shù)姆趴s,考慮f(x)≥
1+x-a(1+x)
ex(1+x)
=
(1-a)(1+x)
ex(1+x)
,從而當1-a≥0,即a≤1時,對?x∈[0,+∞),f(x)≥f(0)=0;當a>1時,可得x∈(0,ln(a+
a2-a
))
時,f(x)<f(0)=0,從而可得a的取值范圍.
解答:解:(1)f(x)=
1
1+x
-
a
ex
=
ex-a(1+x)
ex(1+x)
,
當a=1時,f(x)=
ex-(1+x)
ex(1+x)
,---------(2分)
令g(x)=ex-1-x,則g′(x)=ex-1,
當x∈(0,+∞)時,g′(x)=ex-1>0,所以g(x)在(0,+∞)為增函數(shù),
因此x∈(0,+∞)時,g(x)>g(0)=0,所以當x∈(0,+∞)時,f′(x)>0,
則f(x)在(0,+∞)是增函數(shù).---------(6分)
(2)由f(x)=
ex-a(1+x)
ex(1+x)
,
由(1)知,ex≥1+x,當且僅當x=0等號成立.
f(x)≥
1+x-a(1+x)
ex(1+x)
=
(1-a)(1+x)
ex(1+x)

從而當1-a≥0,即a≤1時,對x∈[0,+∞),f′(x)≥0,
于是對?x∈[0,+∞),f(x)≥f(0)=0.
由ex>1+x(x≠0),得e-x>1-x(x≠0),
從而當a>1時,
f(x)<
ex-a+ae-x-a
ex(1+x)
=
e2x-2aex+a
e2x(1+x)
=
(ex-a+
a2-a
)(ex-a-
a2-a
)
e2x(1+x)

故當x∈(0,ln(a+
a2-a
))
時,f′(x)<0,
于是當x∈(0,ln(a+
a2-a
))
時,f(x)<f(0)=0,
綜上,a的取值范圍是(-∞,1].---------(12分)
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查恒成立問題,考查學(xué)生分析解決問題的能力,正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
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x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有 一個公共的焦點F,且兩曲線的一個交點為P,若|PF|=5,則雙曲線方程為
x2-
y2
3
=1
x2-
y2
3
=1

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π
2
)的圖象如圖所示,為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象,只需把y=f(x)的圖象上所有點( �。�

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x=acosφ
y=bsinφ
(a>b>0,?為參數(shù)),在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心在極軸上,且經(jīng)過極點的圓.已知曲線C1上的點M(1,
3
2
)對應(yīng)的參數(shù)φ=
π
3
,曲線C2過點D(1,
π
3
).
(Ⅰ)求曲線C1,C2的直角坐標方程;
(Ⅱ)若點A(ρ 1,θ),B(ρ 2,θ+
π
2
) 在曲線C1上,求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值.

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