分析 (1)由f(x)的導(dǎo)數(shù),可設(shè)g(x)=f′(x),即有方程g(x)=0有兩個不同的非零實根x1,x2,可得\frac{a}>1,結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)論;
(2)若實數(shù)λ滿足等式f(x1)+f(x2)+a+λb=0,化簡整理可得-λ=2aln2a-a,設(shè)t=2a>2,則-λ=tlnt-12t,求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,進(jìn)而可得λ的取值范圍.
解答 證明:(1)由f(x)=aln(x2+1)+bx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2axx2+1+b=bx2+2ax+bx2+1,
令g(x)=bx2+2ax+b,由題意可得g(x)=0有兩個不同的非零實根,
得△=4a2-4b2>0,
因此a>b>0,
所以a>1;
所以x1+x2=-2a<-2,
即|x1+x2|>2;
解:(2)由(1)知x1x2=1,
f(x1)+f(x2)+a
=aln[x12x22+(x12+x22)+1]+b(x1+x2)+a
=aln[(x12+x22)+2]+b(x1+x2)+a
=aln[(x1+x2)2]+b(x1+x2)+a
=2aln\frac{2a}-a,
由f(x1)+f(x2)+a+λb=0得-λ=\frac{2a}ln\frac{2a}-a,
設(shè)t=2a>2,則-λ=tlnt-12t,
令h(t)=tlnt-12t,t>2.
h′(t)=1+lnt-12=lnt+12>0,
h(t)在(2,+∞)是增函數(shù).
因此-λ>2ln2-1,
即為λ<1-2ln2.
點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用:求單調(diào)區(qū)間和極值,構(gòu)造函數(shù)法和運用函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵,難度中檔.
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A. | x2100+y296=1 | B. | x225+y221=1 | C. | x296+y2100=1 | D. | x221+y225=1 |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | 15 | B. | 31 | C. | 40 | D. | 63 |
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A. | 甲 | B. | 乙 | C. | 丙 | D. | 丁 |
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