如圖，直線過圓心，交⊙于，直線交⊙于(不與重合)，直線與⊙相切于,交于,且與垂直，垂足為,連結.

求證：(1);      

(2).

 

【答案】

(1)利用弦切角∠BAC=∠CAG.(2)利用三角形相似。 AC2=AE·AF.

【解析】

試題分析：(1)連結BC,∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.

∵GC切⊙O于C,∴∠GCA=∠ABC.

∴∠BAC=∠CAG.                5分

(2)連結CF,∵EC切⊙O于C, ∴∠ACE=∠AFC.

又∠BAC=∠CAG,  ∴△ACF∽△AEC.

∴,∴AC2=AE·AF.          10分

考點：本題主要考查弦切角定理，圓的性質(zhì)，三角形相似。

點評：簡單題，利用弦切角定理及三角形相似知識，證明角相等、確定線段長度的關系，是常見題目。

 

練習冊系列答案
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選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB過圓心O，交圓O于A，B兩點，直線AF交圓O于F，（F不與B重合），直線l與圓O相切于點C，交AB的延長線于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．
（Ⅰ）求證：∠BAC=∠CAG；
（Ⅱ）求證：AC2=AE•AF．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直線AB過圓心O，交圓O于A、B，直線AF交圓O于F（不與B重合），直線L與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC．求證：
（Ⅰ）∠BAC=CAG；
（Ⅱ）AC2=AE•AF．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(1)如圖2-28,已知直線AB過圓心O,交⊙O于A、B,直線AF交⊙O于F(不與B重合),直線l交⊙O于C、D,交AB于E,且與AF垂直,垂足為G,連結AC、AD.

求證:①∠BAD=∠CAG;

②AC·AD=AE·AF.

(2)在問題(1)中,當直線l向上平行移動,與⊙O相切時,其他條件不變.

①請你畫出變化后的圖形,并對照圖2-28標記字母;②問題(1)中的兩個結論是否成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.

圖2-28

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆黑龍江省高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

幾何證明選講.

如圖，直線過圓心，交⊙于，直線交⊙于 (不與重合)，直線與⊙相切于,交于,且與垂直，垂足為,連結.

求證：(1);      

(2).

 

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