Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)g（x）=f（x）﹣x3 ， 且g（x）為奇函數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）=2x ， 求當x＜0時，函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定義在R上的函數(shù)g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）為奇函數(shù)，

∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），

∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

（2）解：∵x＞0時，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，

當x＜0時，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，

由奇函數(shù)可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．

【解析】（1）結(jié)合題意由函數(shù)奇偶性的定義可得；（2）可得x＞0時g（x）=2x﹣x3 ， 當x＜0時，﹣x＞0，整體代入由函數(shù)的奇偶性可得．
【考點精析】利用函數(shù)的奇偶性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．