Question

如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，DE=4，M為CE的中點(diǎn)．
（I）求證：BM∥平面ADEF：
（Ⅱ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）求三棱錐C-MBD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結(jié)合已知中AB∥CD，AB=AD=1，CD=2，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；
（II）由已知中矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，易得ED⊥平面ABCD，進(jìn)而ED⊥BC，由勾股定理，我們易判斷出△BCD中，BC⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面BDE；
（Ⅲ）取CD中點(diǎn)G，連接MG，利用V_C-MBD=V_M-BCD，即可求得結(jié)論．
解答：（I）證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN
在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=CD．
由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．
所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN
又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF；

（II）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，可得BC=
在△BCD中，BD=BC=，CD=2，
因?yàn)锽D²+BC²=CD²，所以BC⊥BD．
因?yàn)锽D∩DE=D，所以BC⊥平面BDE，
（Ⅲ）解：取CD中點(diǎn)G，連接MG，則MG∥DE且MG=
∵ED⊥平面ABCD
∴MG⊥平面ABCD
∵BC⊥DB且BC=BD=
∴V_C-MBD=V_M-BCD==．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，三棱錐體積的計(jì)算，熟練掌握空間直線與平面不同位置關(guān)系（平行和垂直）的判定定理、性質(zhì)定理、定義及幾何特征是解答本題的關(guān)鍵．