Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若在單調(diào)遞增，求的值；

（2）當時，設函數(shù)的最小值為，求函數(shù)的值域．

Answer 1

【答案】（1）．（2）

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導得，由在單調(diào)遞增，得，即 ，利用分析法，對進行分類討論，即可得答案；

（2）利用隱零點法求出函數(shù)最小值為，得，利用導數(shù)研究函數(shù)令，的值域，即可得答案；

（1）．

因為在單調(diào)遞增，所以，即

（i）當時，，則需，故，即；

（ii）當時，，則；

（iii）當時，，則需，故，即．

綜上述，．

（2）．

因為，所以，所以在單調(diào)遞增

又因為，

所以存在，使，

且當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

故最小值為．

由，得，因此．

令，則，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．

又因為，且，

所以，即取遍的每一個值,

令，

則，

故函數(shù)在單調(diào)遞增．

又，所以，故函數(shù)的值域為．