Question

設(shè)約束條件

y≥0 y≤x y≤2-x t≤x≤t+1(0＜t＜1)

所確定的平面區(qū)域為D．
（1）記平面區(qū)域D的面積為S=f（t），試求f（t）的表達式．
（2）設(shè)向量

a

=（1，-1），

b

=（2，-1），Q（x，y）在平面區(qū)域D（含邊界）上，

OQ

=m

a

+n

b

，（m，n∈R），當面積S取到最大值時，用x，y表示m+3n，并求m+3n的最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）作出題中約束條件所確定的平面區(qū)域，得它的形狀是由等腰Rt△OCF，減去等腰Rt△OAB和等腰Rt△DEF而得的一個五邊形．根據(jù)題意算出三個等腰直角形的面積，得到該平面區(qū)域的面積S=f（t）是關(guān)于t的二次函數(shù)．
（2）利用已知條件的向量關(guān)系，求出m+3n與x、y的關(guān)系式，然后利用可行域求出最值即可．

解答： 解：（1）作出題中約束條件所確定的平面區(qū)域，如右圖陰影部分
則S_△OAB

1

2

|OA|•|AB|=

1

2

t2，S_△DEF=

1

2

|DE|•|EF|=

1

2

（1-t）²，
∴五邊形ABCDE面積S=S_△OCF-S_△OAB-S_△DEF
=

1

2

×2×1-

1

2

t2-

1

2

（1-t）²=-t²+t+

1

2

即f（t）=-t²+t+

1

2

，其中0＜t＜1
（2）向量

a

=（1，-1），

b

=（2，-1），Q（x，y）在平面區(qū)域D（含邊界）上，

OQ

=m

a

+n

b

，
可得（x，y）=m（1，-1）+n（2，-1），可得

x=m+2n y=-m-n

，令z=m+3n，
∴z=m+3n=2x+y，
m+3n的最大值就是2x+y的最大值，由（1）可知可行域始終包含（1，1）點，并且直線2x+y=z經(jīng)過（1，1）點時取得最大值：3，

點評：本題在平面直角坐標系中，求區(qū)域圖形面積的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．