【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，離心率等于，該橢圓的一個長軸端點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓的兩個交點記為、，其中點在第一象限，點、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.當、運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】(1)

(2)為定值，定值.

【解析】

（1）由題意可求出拋物線的焦點坐標，即為的值，再根據(jù)離心率等于，及、、的關系即可求出。

（2）由題意，即直線與直線斜率存在且斜率之和為0，可設的斜率為，表示出直線與直線的方程，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程，即可用含的式子表示，兩點的坐標特征，即可求出直線的斜率。

（1）因為拋物線焦點為，所以，

，∴，

又，所以.

所以橢圓的方程為.

（2）由題意，當時，知與斜率存在且斜率之和為0.

設直線的斜率為，則直線的斜率為，記，，

直線與橢圓的兩個交點、，

設的方程為，聯(lián)立，

消得，

由已知知恒成立，所以，

同理可得.

所以，，

，

所以.

所以的斜率為定值.

練習冊系列答案
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【題目】已知f（x）是二次函數(shù)，且f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，

（1）求f（x）的表達式；

（2）若f（x）＞a在x∈[﹣1，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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【題目】新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解了近五個月的實際銷量如下表：

月份

2017.12

2018.01

2018.02

2018.03

2018.04

月份編號

1

2

3

4

5

銷量（萬量）

0.5

0.6

1

1.4

1.7

（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量（萬輛）與月份編號之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程，并預測2018年5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；

（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：

補貼金額預期值區(qū)間（萬元）

頻數(shù)

20

60

60

30

20

10

（i）求這200位擬購買新能源汽車的消費者對補貼金額的心理預期值的方差及中位數(shù)的估計值（同一區(qū)間的預期值可用該區(qū)間的中點值代替，估計值精確到0.1）；

（ii）將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取的3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

附：①回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；②.

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【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。

（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式。

（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值。

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【題目】在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；

（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．

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【題目】中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互變化、對稱統(tǒng)一的形式美、和諧美．給出定義：能夠?qū)A(為坐標原點)的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)”．給出下列命題：

①對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個；

②函數(shù)可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

③正弦函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”；

④函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形．

A.①④B.①③④C.②③D.①③

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【題目】二次函數(shù)和(,)的值域分別為和,命題,命題,則下列命題中真命題的是（ ）

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【題目】已知四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E為CD的中點，

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（2）若，PC與平面ABCD所成的角為，試問“在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點N，使得平面PCD？”若存在，求出點N到平面ABCD的距離；若不存在，請說明理由.

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（1）求，的極坐標方程；

（2）射線l的極坐標方程為，若l分別與，交于異于極點的，兩點，求的最大值.

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