Question

已知A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與B的距離比為常數(shù)λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上的任意一點(diǎn)，欲求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，只須求出x，y的關(guān)系式即可，結(jié)合距離的比，用坐標(biāo)來(lái)表示距離，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)即可求得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答： 解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a，則A（-a，0），B（a，0）．設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)．
則由題設(shè)，得

|MA|

|MB|

=λ，坐標(biāo)代入，得

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=λ，化簡(jiǎn)得
（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x+（1-λ²）a²=0
（1）當(dāng)λ=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線（y軸）．
（2）當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x²+y²+

2a(1+λ2)

1-λ2

x+a²=0，點(diǎn)M的軌跡是以（-

a(1+λ2)

1-λ2

，0）為圓心，

2aλ

|1-λ2|

為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，利用的是直接法，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．