Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和S_n滿足Sn2=an(Sn-

1

2

)．
（Ⅰ） 求S_n的表達(dá)式；
（Ⅱ） 設(shè)bn=

Sn

2n+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1代入Sn2=an(Sn-

1

2

)即可得到2S_nS_n-1+S_n-S_n-1=0，然后化簡得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，于是可以得到S_n的表達(dá)式，
（Ⅱ）把Sn=

1

2n-1

代入bn=

Sn

2n+1

中可得b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，然后進(jìn)行裂項(xiàng)相消進(jìn)行求和．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1代入得：2SnSn-1+Sn-Sn-1=0?

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴

1

Sn

=2n-1?Sn=

1

2n-1

（6分）
（Ⅱ）bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的求和和求數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和是解答本題第二問的關(guān)鍵，本題難度一般．