Question

如圖，已知長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝2，AA₁＝1，直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F(xiàn)是A₁B₁的中點(diǎn)．

(1)求異面直線AE與BF所成的角．

(2)求平面BDF與平面AA₁B所成二面角(銳角)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系． 　　∵AB＝2，AA1＝1，∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(xiàn)(1，0，1)． 　　又AD⊥平面ABB1A1，從而BD與平面ABB1A1所成的角為∠DBA＝30°． 　　又AE⊥BD于E，∴AE＝1，AD＝． 　　∴E(，，0)，D(0，，0)． 　　(1)∵＝(，，0)，＝(－1，0，1)， 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴異面直線AE、BF所成的角為arccos． 　　(2)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)， 　　則 　　令z＝1，則n＝(1，，1)． 　　又平面ABB1A1的一個(gè)法向量為m＝(0，1，0)． 　　∴cos〈m，n〉＝， 　　即平面BDF與平面AA1B所成二面角(銳角)大小為arccos．

提示：

求二面角大小時(shí)，既可以用先作出平面角，再利用解三角形的知識(shí)求解，也可以用向量知識(shí)求解．在用向量法求解時(shí)，應(yīng)注意兩個(gè)問題：一是建系后兩個(gè)平面的法向量求解正確；二是求出了兩法向量夾角后，應(yīng)結(jié)合圖形與題意判斷求出的是二面角的大小，還是它的補(bǔ)角的大小，從而確定二面角大�。�