Question

已知f（x）=ax-

b

x

-2lnx，且f（1）=0．
（1）若f（x）在x=2處有極值，求a，b的值；
（2）求a的范圍，使f（x）在定義域內恒有極值點；
（3）若a=1，求曲線y=f（x）上任一點P到直線x-y+1=0的最小距離．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,作圖題,導數的綜合應用

分析：由題意，f（1）=a-b=0，則a=b；f（x）=ax-

a

x

-2lnx；
（1）求導f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，令f′（2）=0求得；
（2）f（x）=ax-

a

x

-2lnx的定義域為（0，+∞）；化f（x）在定義域內恒有極值點為導數有正負值，從而求得；
（3）f（x）=x-

1

x

-2lnx；令f′（x）=

x2-2x+1

x2

=1，從而確定切點，求切點到直線的距離及可．

解答： 解：由題意，f（1）=a-b=0，則a=b；
f（x）=ax-

a

x

-2lnx；
（1）由題意，f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

；
故f′（2）=0可化為4a-4+a=0；
解得，a=

4

5

；
故a=b=

4

5

；
（2）f（x）=ax-

a

x

-2lnx的定義域為（0，+∞）；
若a≤0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；
故f（x）在定義域內沒有極值點；
若a＞0，則設m（x）=ax²-2x+a，
其對稱軸為x=

1

a

＞0；
故只需使m（

1

a

）=

1

a

-2

1

a

+a＜0，
解得，0＜a＜1；
（3）f（x）=x-

1

x

-2lnx；
令f′（x）=

x2-2x+1

x2

=1，
解得x=

1

2

；f（

1

2

）=

1

2

-2+2ln2=2ln2-

3

2

；
故曲線y=f（x）上任一點P到直線x-y+1=0的最小距離為

| 1 2 -2ln2+ 3 2 +1|

2

=

(3-2ln2) 2

2

．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．