Question

已知曲線C上的動點M到y(tǒng)軸的距離比到點F（1，0）的距離小1，
（I）求曲線C的方程；
（II）過F作弦PQ、RS，設(shè)PQ、RS的中點分別為A、B，若，求最小時，弦PQ、RS所在直線的方程；
（III）是否存在一定點T，使得？若存在，求出P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)拋物線定義可知曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可得拋物線的方程．
（II）設(shè)l_PQ：y=k（x-1），代入拋物線消去y，得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得點A的坐標(biāo)，根據(jù)，可知PQ⊥RS，進(jìn)而可得的表達(dá)式，進(jìn)而可知當(dāng)k=±1時最小值．答案可得．
（III）根據(jù)推斷出，進(jìn)而可知即A，T，B三點共線由（II）可得直線AB的方程整理得（1-k²）y=k（x-3）進(jìn)而可知直線AB過定點（3，0）．
解答：解：（I）由條件，M到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=4x
（II）設(shè)l_PQ：y=k（x-1），代入y²=4x得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由韋達(dá)定理
∴，
∴∵，
∴PQ⊥RS只要將A點坐標(biāo)中的k換成，得B（1+2k²，-2k）
∴=（當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時取“=”）
所以，最小時，弦PQ、RS所在直線的方程為y=±（x-1），
即x+y-1=0或x-y-1=0
（III）∵，
即A，T，B三點共線
∴是否存在一定點T，使得，
即探求直線AB是否過定點
由（II）知，直線AB的方程為
即（1-k²）y=k（x-3），
∴直線AB過定點（3，0）
故存在一定點T（3，0），
使得．
點評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用．考查了綜合運用所學(xué)知識和運算的能力．