Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）設c_n=a_n-2ⁿ，求c_n；
（2）記n×（n-1）×…×2×1=n!，求數(shù)列{na_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由條件，利用累加法求出得a_n的通項公式，由此可求數(shù)列{c_n}的通項公式；
（2）易得na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，從而S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ），同乘公比，錯位相減可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=3，a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴a₂-a₁=0•2¹，a₃-a₂=-1•2²，a₄-a₃=-2•2³，…a_n-a_n-1=（2-n）•2^n-1（n≥2，n∈N^*）．
兩邊同時相加得a_n-a₁=0•2¹-1•2²-2•2³，…-（2-n）•2^n-1．
設b_n=0•2¹-1•2²-2•2³，…-（2-n）•2^n-1．
則2b_n=0•2²-1•2³-2•2⁴，…-（2-n）•2ⁿ．
兩式相減得b_n=0•2¹+2²+2³+…+2^n-1-（2-n）•2ⁿ=1+

4(1-2n-2)

1-2

-（2-n）•2ⁿ=1+2ⁿ-4-（2-n）•2ⁿ=（n-1）•2ⁿ-3，
∴a_n-a₁=（n-1）•2ⁿ-3，
即a_n=（n-1）•2ⁿ，
∵c_n=a_n-2ⁿ，
∴c_n=a_n-2ⁿ=（n-1）•2ⁿ-2ⁿ=（n-2）•2ⁿ，
（Ⅱ）a_n-2ⁿ=na_n-1-n2^n-1=n（a_n-1-2^n-1），令c_n=a_n-2ⁿ，則c_n=nc_n-1．
而c₁=1，
∴c_n=n（n-1）•…•2•1•c₁=n（n-1）•…•2•1．
∴a_n=n（n-1）•…•2•1+2ⁿ．
na_n=n•n•（n-1）•…•2•1+n2ⁿ=（n+1）!-n!+n•2ⁿ，
∴S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+（n+1）!-n!+（1×2+2×2²+…+n×2ⁿ）．
令T_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ，①
則2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹．②
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
∴S_n=（n+1）!+（n-1）2n+1+1．

點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，重點考查錯位相減法的應用，考查數(shù)列的通項及求和問題，掌握通解通法是關鍵．考查學生的運算能力，綜合性較強，難度較大．