Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數(shù)模型制定獎勵方案，試用數(shù)學(xué)語言表述該公司對獎勵函數(shù)模型的基本要求，并分析函數(shù)是否符合這個要求，并說明原因；
（2）若該公司采用函數(shù)作為獎勵函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)的值．

Answer 1

（1）① 是定義域上是增函數(shù)；② 恒成立；③ 恒成立．不符合公司要求．（2）．

解析試題分析：（1）要將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言主要依據(jù)是相應(yīng)概念的理解，由獎金（單位：萬元）隨投資收益（單位：萬元）的增加而增加，可聯(lián)想到函數(shù)增減性的定義;由獎金不超過9萬元，可聯(lián)想到函數(shù)的值域;由獎金不超過投資收益的20%，收益就是題中的值，即可用來表示，判斷給定函數(shù)是否符合題意其實也就是去遂一進(jìn)行檢驗;（2）所給函數(shù)是一個分式型函數(shù)，先采用分子分離的方法化簡一下，以便出增函數(shù)得出一個關(guān)于的不等式，結(jié)合單調(diào)增易得最大值，由其小于等于9得到關(guān)于的第二個條件，再由代入可得一不等式恒成立，進(jìn)而得到關(guān)于的第三個條件，這三條件共同確定出的范圍．
試題解析：（1）設(shè)獎勵函數(shù)模型為，按公司對函數(shù)模型的基本要求，函數(shù)滿足：當(dāng)時，
① 是定義域上是增函數(shù)；
② 恒成立
③ 恒成立．                                          3分
對于函數(shù)模型，當(dāng)時，是增函數(shù)；
，∴恒成立；
但當(dāng)時，，即不恒成立． 
綜上，該函數(shù)模型不符合公司要求．                              6分
（2）對于函數(shù)模型，即，
① 當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)； 8分
② 為使對在恒成立，則，即； 10分
③ 為使對在恒成立，則，
即，即對恒成立， 12分
綜上，，又，∴．                            14分
考點：1.文字語言與數(shù)學(xué)語言的互化;2.函數(shù)的單調(diào)性;3.函數(shù)的值域