Question

12、設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，且q＞0，q≠1．
（1）若a₁=q^m，m∈Z，且m≥-1，求證：數列{a_n}中任意不同的兩項之積仍為數列{a_n}中的項；
（2）若數列{a_n}中任意不同的兩項之積仍為數列{a_n}中的項，求證：存在整數m，且m≥-1，使得a₁=q^m．

Answer 1

分析：（1）設出等比數列中的不同的兩項，然后求出兩項的積，利用等比數列的通項公式化簡后，根據等比數列的通項公式即可得到積為等比數列中的項，得證；
（2）根據等比數列{a_n}中任意不同兩項之積仍為數列{a_n}中的項，設出兩項之積的項，利用等比數列的通項公式化簡可得存在整數m使a₁=q^m，然后利用反證法證明m大于等于-1，方法是，先假設m小于-1，得到-m大于等于2，令k等于-m，根據題意推出r的值為0，與r為正整數矛盾，所以假設錯誤，原命題正確，得證．

解答：證明：（1）設a_r，a_t為等比數列{a_n}中不同的兩項，
由a₁=q^m，得a_r•a_t=a₁q^r-1•a₁q^t-1=a₁•q^{（r+t+m-1）-1}．
又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-1≥1．
所以a_r，a_t是數列{a_n}的第r+m+t-1項；
（2）等比數列{a_n}中任意不同兩項之積仍為數列{a_n}中的項，
令a_s•a_t=a_l（l，t，s∈N^*，t≠s），
由a_s=a₁•q^s-1，a_t=a₁•q^t-1，a_l=a₁•q^l-1，得a₁•q^s-1••a₁•q^t-1=a₁•q^l-1，a₁=q^l-s-t+1．
令整數m=l-s-t+1，則a₁=q^m．
下證整數m≥-1．
若設整數m＜-1，則-m≥2．令k=-m，
由題設，取a₁，a_k，使a₁•a_k=a_r（r∈N^*），
即a₁•a₁•q^k-1=a₁•q^r-1，所以q^m•q^-m-1=q^r-1，
即q^-1=q^r-1．所以q＞0，q≠1，-1=r-1，r=0與r∈N^*矛盾；
所以m≥-1．

點評：此題考查學生靈活運用等比數量的通項公式化簡求值，掌握等比數列的性質，會利用反證法進行證明，是一道綜合題．