Question

已知函數(shù)f（x）=，g（x）=clnx+b，且x=是函數(shù)y=f（x）的極值點．
（Ⅰ）當b=-2時，求a的值，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當b∈R時，函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）是否存在這樣的直線l，同時滿足：
①l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線
②l與函數(shù)y=g（x） 的圖象相切于點P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求實數(shù)b的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（1分）
由已知得，，∴，解得a=1．（2分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
當時，f'（x）＜0，當時，f'（x）＞0．又f（0）=0，（3分）
當b=1時，f（x）在（-∞，0），上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（4分）
（Ⅱ）由（1）知，當時，f（x）單調(diào)遞減，
當，f（x）單調(diào)遞增，．（2分）
要使函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，則函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或；（3分）
②當b=0時，；（4分）
③當（5分）
（Ⅲ）假設存在，x＞0時，f9x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x
∴f（2）=0，f'（2）=2e²
函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2）處的切線l的方程為：y=2e²（x-2）（1分）
直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點P（m，n）m∈[e^-1，e]，
∴n=clnm+b，g'（x）=，所以切線l的斜率為g'（m）=
所以切線l的方程為y-n=（x-m）
即l的方程為：y=x-c+b+clnm（2分）
得?
得b=2e²（m-mlnm-2）其中m∈[e^-1，e]（3分）
記h（m）=2e²（m-mlnm-2）（其中m∈[e^-1，e]
∴h'（m）=2e²（1-（lnm+1））=-2e²lnm
令h'（m）=0?m=1（4分）

m	（e-1，1）	1	（1，e）
h'（m）	+	0	-
h（m）		極大值-2e2

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵m∈[e^-1，e]，∴h（m）∈[-4e²，-2e²]

所以實數(shù)b的取值范圍的集合：{b|-4e²≤b≤-2e²}（5分）
分析：（Ⅰ）先求出其導函數(shù)，利用x=是函數(shù)y=f（x）的極值點對應，求出a的值，進而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導函數(shù)求出函數(shù)
y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，畫出草圖，結合圖象即可求出實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅲ）利用導函數(shù)分別求出兩個函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對應項系數(shù)相等即可求出關于實數(shù)b的等式，再借助于其導函數(shù)即可求出實數(shù)b的取值范圍．（注意范圍限制）．
點評：本題第一問主要研究利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，一般結論是：導數(shù)大于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導數(shù)小于0對應區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．