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(滿分12分)已知數列的前n項和滿足n為正整數).

(1)令,求證數列是等差數列,并求數列的通項公式;

(2)令,,試比較的大小,并予證明.

 

【答案】

(I);

(II)當,當時 ,.證明見解析.

【解析】本試題主要是考查了數列的通項公式的求解和錯位相減法求和的綜合運用。

(1)借助于已知中的通項公式和前n項和的關系式,得到數列an的通項公式,然后利用得到證明。

(2)根據上一問中的結論,然后結合錯位相減法的數學思想,分析等比數列的公比,兩邊同乘以公比,再作差得到結論。

解:(I)令n=1,可得

.

  .                   數列是首項為1,公差為2的等差數列.

..........................................4'

(II)由(I)得,所以

由①-②得 

........................8

于是確定的大小關系等價于比較的大小

                  

可猜想當證明如下:

證法1:(1)當n=3時,由上驗算顯示成立。

(2)假設

所以當時猜想也成立

綜合(1)(2)可知 ,對一切的正整數,都有...............12'

證法2:當

綜上所述,當,當

 

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已知數列是遞增數列,且滿足。

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已知數列的前項和為,且).

(Ⅰ)證明:數列是等比數列;

(Ⅱ)若數列滿足,且,求數列的通項公式.   

 

 

 

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(I)求數列的通項公式;

(II)若,求數列的前n項和 

 

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