(滿分12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和
滿足
(n為正整數(shù)).
(1)令,求證數(shù)列
是等差數(shù)列,并求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)令,
,試比較
與
的大小,并予證明.
(I);
(II)當(dāng),當(dāng)
時(shí)
,
.證明見解析.
【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解和錯(cuò)位相減法求和的綜合運(yùn)用。
(1)借助于已知中的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系式,得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式,然后利用得到證明。
(2)根據(jù)上一問中的結(jié)論,然后結(jié)合錯(cuò)位相減法的數(shù)學(xué)思想,分析等比數(shù)列的公比,兩邊同乘以公比,再作差得到結(jié)論。
解:(I)令n=1,可得
當(dāng)時(shí)
.
.
數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
..........................................4'
(II)由(I)得,所以
由①-②得
........................8
于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較
的大小
由
可猜想當(dāng)證明如下:
證法1:(1)當(dāng)n=3時(shí),由上驗(yàn)算顯示成立。
(2)假設(shè)時(shí)
所以當(dāng)時(shí)猜想也成立
綜合(1)(2)可知 ,對一切的正整數(shù),都有
...............12'
證法2:當(dāng)時(shí)
綜上所述,當(dāng),當(dāng)
時(shí)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆重慶市高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知數(shù)列是遞增數(shù)列,且滿足
。
(1)若是等差數(shù)列,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(2)對于(1)中,令
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年新疆烏魯木齊地區(qū)高三第一次診斷性測驗(yàn)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}、{bn}分別是首項(xiàng)均為2的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列和等差數(shù)列,且
(I) 求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;
(II )求使<0.001成立的最小的n值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆四川省高一下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足
,
(
).
(Ⅰ) 證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
,若對于任意
,都滿足
成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建廈門雙十中學(xué)高三考前熱身訓(xùn)練文數(shù)試卷 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
(
).
(Ⅰ)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若數(shù)列滿足
,且
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年河南省高三第三次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,對一切正整數(shù)n,點(diǎn)
都在函數(shù)
的圖像上,且在點(diǎn)
處的切線的斜率為
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(II)若,求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
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