Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n≥1且n∈z）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n，結(jié)合已知條件，推出數(shù)列{S_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求出S_n，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）利用錯位相減法，求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n，
∴S_n+1-S_n=2S_n，
∴$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}$=3，
又∵S₁=a₁=1，
∴數(shù)列{S_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1（n∈N*）．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
當(dāng)n=1時，T₁=1；
當(dāng)n≥2時，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•$\frac{3（1-{3}^{n-2}）}{1-3}$-2n•3^n-1=-1+（1-2n）•3^n-1，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）3^n-1（n≥2），
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）3^n-1（n∈N*）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等比數(shù)列的判斷，數(shù)列求和的方法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．