Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{a_n-2n+1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（I）要證數(shù)列{a_n-2n+1}是等比數(shù)列，利用已知條件構(gòu)造，只要證明

an+1- 2(n+1)+1

an-2n+1

=q即可
（II）由（I）可求a_n，通過(guò)比較a_n與a_n-1的大小研究數(shù)列的單調(diào)性，且通過(guò)且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，可知數(shù)列和的最小值

解答：解：（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴an=

1

3

(an-1+4n)，∴an+1-2(n+1)+1=

1

3

[an+4(n+1)]-2(n+1)+1=

1

3

an-

2n

3

+

1

3

=

1

3

(an-2n+1)，（4分）
∴a_n-2n+1是以-15為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列．（6分）
（II）∵an-2n+1=-15•(

1

3

)n-1，∴an=-15•(

1

3

)n-1+2n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an-an-1=2+10•(

1

3

)n-2＞0，
∴數(shù)列a_n是單調(diào)遞增數(shù)列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題利用定義構(gòu)造證明等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義，構(gòu)造兩項(xiàng)相除為定值的形式，做差法是比較兩式大小的常用方法，通過(guò)研究數(shù)列的單調(diào)性，求數(shù)列和的最值問(wèn)題，是數(shù)列問(wèn)題的�？碱愋�，屬于綜合性試題．