Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），且過(guò)點(diǎn)Q（1，

2

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程； 
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（-2，0）的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足

BP

=λ

AP

（λ＞1）．
（1）若λ=3，求3|AF₁|+|BF₁|的值；
（2）若M、N分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，證明：∠AF₁M=∠BF₁N．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出F₁（-1，0），（1，

2

2

），c=1，F2 (1，0)，|QF₁|+|QF₂|=2a，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB方程為y=k（x+2），由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）y²-4ky+2k²=0，由此能求出3|AF₁|+|BF₁|=2

2

．
（2）若x1 =-1，則直線PA的方程為y=±

2

2

(x+2)，由此能證明∠AF₁M=∠BF₁N．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），且過(guò)點(diǎn)Q（1，

2

2

），∴c=1，
取橢圓的右焦點(diǎn)F2 (1，0)，
由|QF₁|+|QF₂|=2a，解得a=

2

，b=1，
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）（1）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知直線AB斜率存在，設(shè)直線AB方程為y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

，得：（1+2k²）y²-4ky+2k²=0，
由△=16k²-8k²（1+2k²）＞0，得0≤k2＜

1

2

，
∵

BP

=3

AP

，∴y₂=3y₁，
y1+y2=4y1=

4k

1+2k2

，y1 y2=3y12=

2k2

1+2k2

，…（5分）
∴k2=

1

4

，符合△＞0，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)k=

1

2

，
解得A（-

4

3

，

1

3

），（0，1），
∴3|AF₁|+|BF₁|=2

2

．…（8分）
（2）證明：若x1 =-1，則直線PA的方程為y=±

2

2

(x+2)，
將k=±

2

2

代入得△=0，不滿(mǎn)足題意，
∴x₁≠-1，同理x₂≠-1．（…9分）
tan∠AF₁N=

y1

x1+1

，tan∠BF₁N=

y2

x2+1

，
tan∠AF₁N+tan∠BF₁N=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

x2y1+y1+x1y2+y2

(x1+1)(x2+1)

=

( y2 k -2)y1+y1+( y1 k -2)y2+y2

(x1+1)(x2+1)

=

2 k y1y2-(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

2 k • 2k2 (1+2k2) - 4k 1+2k2

(x1+1)(x2+1)

=0．…（11分）
∴tan∠AF₁N=-tan∠BF₁N，
∴∠AF₁M=∠BF₁N．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段和的求法，考查兩角相等的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．