Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，其公差為d，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，若a₁＜a₂，b₁＜b₂，且b₁=a_i²（i=1，2，3），則

a1

d

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，可得d＞0，由數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，可得b₂²=b₁•b₃，代入化簡(jiǎn)可得a₁和d的關(guān)系，分類(lèi)討論可得b₁和b₂，可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁＜a₂可得d＞0，
∴b₁=a₁²，b₂=a₂²=（a₁+d）²，b₃=a₃²=（a₁+2d）²，
∵數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
∴b₂²=b₁•b₃，
即（a₁+d）⁴=a₁²•（a₁+2d）²，
∴（a₁+d）²=a₁•（a₁+2d）  ①
或（a₁+d）²=-a₁•（a₁+2d），②
由①可得d=0與d＞0矛盾，應(yīng)舍去；
由②可得a₁=

-2- 2

2

d，或a₁=

2

2

-1d，
當(dāng)a₁=

-2- 2

2

d時(shí)，可得b₁=a₁²=

3+2 2

2

d2
b₂=a₂²=（a₁+d）²=

1

2

d2，此時(shí)顯然與b₁＜b₂矛盾，舍去；
當(dāng)a₁=

2

2

-1d時(shí)，可得b₁=a₁²=

3-2 2

2

d2，b₂=（a₁+d）²=

1

2

d2，滿(mǎn)足題意，
∴

a1

d

=

2

2

-1，
故答案為：

2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及分類(lèi)討論的思想，屬中檔題．