Question

在平面直角坐標系xOy中，若直線y=kx+1與曲線y=|x+|-|x-|有四個公共點，則實數k的取值范圍是________．

Answer 1

{-}
分析：令t=x-==，通過分類討論，去掉絕對值符號，得到分段函數表達式，作出其圖象即可得到答案．
解答：t=x-==
①若x＜-1，t＜0，y=|x+|-|x-|=（-x-）-（-x）=-；
②若-1＜x＜0，t＞0，y=|x+|-|x-|=（-x-）-（x-）=-2x；
③若0＜x＜1，t＜0，則y=|x+|-|x-|=（x+）-（-x）=2x；
④若x＞1即 t＞0，則曲線y=|x+|-|x-|=（x+）-（x-）=．
∴y=，作圖如右：
由于直線y=kx+1經過定點A（0，1），當過A點的直線m與曲線y=-相切時，直線m與曲線y=|x+|-|x-|有四個公共點，
設切點坐標為：（x₀，y₀），則k=（-）′=，
∴y₀=-=kx₀+1=•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k==；
同理，可得當直線n與曲線y=相切時，直線n與曲線y=|x+|-|x-|有四個公共點，可求得直線n的斜率為k′=-；
當過A點的直線l∥x軸，即其斜率為0時，直線l與曲線y=|x+|-|x-|有四個公共點；
綜上所述，實數k的取值范圍是{，0，-}．
故答案為：{，0，-}．
點評：本題考查帶絕對值的函數，關鍵在于去絕對值符號，難點在于分類討論去絕對值符號，考查作圖能力，屬于難題．