Question

如圖，四棱錐F-ABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（1）求二面角B-AF-D的大小；

（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

 

Answer 1

(1)(2).

【解析】

試題分析：（1）方法一：連接交于菱形的中心，過作，為垂足，連接，根據(jù)定義可知為二面角的平面角，在三角形中求出此角即可；

方法二：設與交點為，以為坐標原點，分別以所在直線為軸軸建立如圖所示的空間直角坐標系, 設平面，平面的法向量分別為,利用的公式進行計算.

（2）連接，設直線與直線相交于點，則四棱錐與四棱錐的公共部分為四棱錐，過作平面，為垂足，然后求出，利用體積公式求解即可．

試題解析：（1）方法一：如圖（1）連結AC、BD交于菱形的中心O，過O

作OG⊥AF，G為垂足. 連結BG、DG.

由BD⊥AC，BD⊥CF，得BD⊥平面ACF， 故BD⊥AF. 于是AF⊥平面BGD，

所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD為二面角B-AF-D的平面角. 3分

由FC⊥AC，F(xiàn)C=AC=2，得∠FAC，.

由OB⊥OG，OB=OD=，得∠BGD=2∠BGO.

即二面角B-AF-D的大小為. 6分

方法二：設AC與BD交點為O，以O為坐標原點，分別以BD 、AC所在直線為x軸

y軸建立如圖所示的空間直角坐標系

則A(0，－1，0)，B(，0，0)，D(，0，0)，F(xiàn)(0，1，2)

，， 2分

設平面ABF，平面ADF的法向量分別為

設

由

令 4分

同理可得 ∴ ∴

∴二面角B－AF－D的大小為 6分

（2）如圖（2）連EB、EC、ED，設直線AF與直線CE相交于點H，

則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD.

過H作HP⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

從而. 7分

由，得. 9分

又因為

故四棱錐的體積. 12分

考點：1.二面角的計算；2.幾何體的體積.