Question

已知f（x）=

kx+1，x∈[-1，1] 2x2+kx-1，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)

．
（1）若k=2，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下證明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）通過k=2，利用分段函數(shù)求出方程的根，即可得到函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)所在區(qū)間，利用跟與系數(shù)的關(guān)系，列出不等式組即可求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂＜2，通過1-x₁²=-x₁²-kx₁；x₂²-1=-x₂²-kx₂．逐步化簡證明

1

x1

+

1

x2

=2x²＜4．．

解答： 解：（1）k=2，求函數(shù)f（x）=

2x+1，x∈[-1，1] 2x2+2x-1，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)

，
令2x+1=0可得x=-

1

2

，
2x²+2x-1=0可得x=

-1± 3

2

，x=

-1+ 3

2

∉（1，+∞）故舍去．
函數(shù)的零點(diǎn)是：-

1

2

，

-1- 3

2

．
（2）∵f（x）=

kx+1，x∈(0，1] 2x2+kx-1，x∈(1，2)

．①函數(shù)在（0，1]，（1，2）個(gè)一個(gè)零點(diǎn)，由于f（0）=1＞0
∴

f(1)＜0 f(2)＞0

⇒-

7

2

＜k＜-1；
②兩個(gè)零點(diǎn)都在（1，2）時(shí)，顯然不符合跟與系數(shù)的關(guān)系，x₁x₂=-

1

2

＜0，
綜上k的取值范圍：（-

7

2

，-1）．
（3）【證明】
不妨設(shè)0＜x₁＜1＜x₂＜2
有1-x₁²=-x₁²-kx₁；x₂²-1=-x₂²-kx₂．
∴k=-

1

x1

；2x₂²+kx₂-1=0
將k代入得2x₂²-

x2

x1

-1=0
即2x²-

1

x1

-

1

x2

=0

1

x1

+

1

x2

=2x²＜4．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力．