Question

已知定點(diǎn)A（-2，0），F(xiàn)（1，0），定直線l：x=4，動點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的

1

2

．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，過點(diǎn)F的直線交C于D、E兩點(diǎn)，直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y）為E上任意一點(diǎn)，依題意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化簡即可得出；
（2）設(shè)DE的方程為x=ty+1，與橢圓方程聯(lián)立化為（3t²+4）y²+6ty-9=0，設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），由A（-2，0），可得直線AD的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，點(diǎn)M(4，

6y1

x1+2

)，同理可得N(4，

6y2

x2+2

)．利用根與系數(shù)的關(guān)系只要證明

FM

•

FN

=0即可．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y）為E上任意一點(diǎn)，依題意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
化為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè)DE的方程為x=ty+1，聯(lián)立

x=ty+1 x2 4 + y2 3 =1

，化為（3t²+4）y²+6ty-9=0，
設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則y1+y2=

-6t

3t2+4

，t₁t₂=

-9

3t2+4

．
由A（-2，0），可得直線AD的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，點(diǎn)M(4，

6y1

x1+2

)，
同理可得N(4，

6y2

x2+2

)．
∴

FM

•

FN

=(3，

6y1

x1+2

)•(3，

6y2

x2+2

)
=9+

36y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

36y1y2

(ty1+3)(ty2+3)

=9+

36y1y2

t2y1y2+3t(y1+y2)+9

=9+

36×(-9)

-9t2+3t(-6t)+9(3t2+4)

=9-9=0．
∴以線段MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)F．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．