Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，平面，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且與平面所成角的正弦值是，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明．

（2）求出，0，是平面的一個法向量，由與平面所成角的正弦值是，求出，求出平面的法向量和平面法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

解：（1）證明：平面，平面，平面，

，，，，，兩兩垂直，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

， ， ， ， ， ，

，，

，

．

（2）解：由已知，設(shè)，，設(shè)，

由（1）知，， ， ，

，

解得，，，，

，

平面，是平面的一個法向量，

設(shè)與平面所成角為，

則，

解得或（舍，，

設(shè)平面的法向量，，，

則，取，得，

平面，平面的一個法向量，

，，

設(shè)二面角的平面角為，

則二面角的余弦值為：．