已知f(x)=x2-2x-ln(x+1)2
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)-x2+3x+a在[
1
2
,2]上只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ(x),在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0
(2)先求出F(x)=x-ln(x+1)2+a,再求導(dǎo),討論其單調(diào)性,得到
F(
1
2
)≥0
F(2)<0
或F(1)=0,繼而求出范圍.
解答: 解:(1)f(x)的定義域為x|x≠-1},
∴f′(x)=2x-2-
2
x+1
=
2(x2-2)
x+1

令f′(x)=0,解得x=±
2
,且x≠-1,
當(dāng)f′(x)>0是,得-
2
<x<-1,或x
2
,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是得(-
2
,-1),和(
2
,+∞),
(2)由已知得F(x)=x-ln(x+1)2+a,
∴F′(x)=1-
2
x+1
=
x-1
x+1

∴當(dāng)x<-1,或x>1時,F(xiàn)′(x)>0,當(dāng)-1<x<1,F(xiàn)′(x)<0,
∴當(dāng)x∈[
1
2
,1],F(xiàn)′(x)<0,此時F(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈[1,2],F(xiàn)′(x)>0,此時F(x)單調(diào)遞增,
∴F(
1
2
)=
1
2
-ln(
1
2
+1)2+a>a,F(xiàn)(2)=2-2ln3+a<a
∴F(
1
2
)>F(2)
∵函數(shù)F(x)=f(x)-x2+3x+a在[
1
2
,2]上只有一個零點,
F(
1
2
)≥0
F(2)<0
或或F(1)=0,
解得
1
2
-2ln2≤a≤2ln3-2,或a=2ln2-1,
故實數(shù)a的取值范圍.
1
2
-2ln2≤a≤2ln3-2,或a=2ln2-1,
點評:本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,以及二次函數(shù)的單調(diào)性和零點問題,同時考查了分析問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將函數(shù)y=sin(2x-
π
3
)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位,得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為f(x),若f(x)為奇函數(shù),則φ的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)y=
1
x
+2lnx的單調(diào)減區(qū)間為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

解不等式組
4k
k2-1
<0
-
8k2
k2-1
>0
2k2-1>0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某中學(xué)從高中三個年級選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)文明交通宣傳志愿者,20名學(xué)生的名額分配為高一12人,高二6人,高三2人.
(Ⅰ)若從20名學(xué)生中選出3人做為組長,求他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率;
(Ⅱ)若將4名教師隨機(jī)安排到三個年級(假設(shè)每名教師加入各年級是等可能的,且各位教師的選擇是相互獨立的),記安排到高一年級的教師人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)y=
x2-1
x2+2x+1
的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知α是三角形的一個內(nèi)角,且sinα+cosα=
2
3
,那么這個三角形的形狀為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}(an>0)的首項為1,且前n項和Sn滿足
Sn
-
Sn-1
=1(n≥2).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=
an
2n
(n=1,2,…),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某校高二年級在3月份進(jìn)行一次質(zhì)量考試,考生成績情況如下表所示:
[0,400)[400,800)[480,550)[550,750)
文科考生6035196
理科考生9035x9
已知在全體考生中隨機(jī)抽取1名,抽到理科考生的概率是0.6.
(1)求x的值;
(2)讀文科考生不低于550分的6名學(xué)生的語文成績的莖葉圖,計算這6名文科考生的語文成績的平均分、中位數(shù);
(3)在(2)中的6名文科考生中隨機(jī)地選2名考生,求恰有一名考生的語文成績在130分以上的概率.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案