Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點
（1）求證：BD₁∥平面AEC
（2）求證：平面D₁DB⊥平面AEC
（3）若P為對角線D₁B的中點，Q為棱C₁C上的動點求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,轉化思想,空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）連接BD交AC于F，連EF．可證EF∥D₁B，又EF?平面EAC，從而可求得BD₁∥平面EAC．
（2）先證明AC⊥BD，有DD₁⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，可證明DD₁⊥AC，從而可證AC⊥平面D₁DB，即證明平面D₁DB⊥平面AEC；
（3）以點D為坐標原點，以DA方向為x軸，DC方向為y軸，DD1方向為z軸，建立空間直角坐標系，先求出D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），再求出D₁B的中點P（1，1，1），Q（0，2，z），從而可得PQ=

2+(z-1)2

，可得當z=1時（此時Q為棱C₁C的中點），PQ_min=

2

．

解答： （1）證明：連接BD交AC于F，連EF，
因為F為正方形ABCD對角線的交點，
所長F為AC、BD的中點，
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點，
所以EF∥D₁B，
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．
（2）證明：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD …5分
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面ABCD，…6分
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，…7分
DD₁?平面D₁DB，BD?平面D₁DB，BD∩DD₁=D，…8分
∴AC⊥平面D₁DB …9分
∵AC?平面AEC，
∴平面D₁DB⊥平面AEC …10分
（3）解：以點D為坐標原點，以DA方向為x軸，DC方向為y軸，DD1方向為z軸，建立空間直角坐標系，…11分
由正方體的棱長為2，知D₁（0，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），
則D₁B的中點P（1，1，1），Q（0，2，z）…12分
PQ=

2+(z-1)2

，…13分
∴當z=1時（此時Q為棱C₁C的中點），PQ_min=

2

…14分

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，空間向量及應用，考查了轉化思想，綜合性較強，屬于中檔題．