Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_k是以4為首項(xiàng)、-2為公差的等差數(shù)列，a_k+1，a_k+2，…，a_2k是以

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2

為首項(xiàng)、

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2

為公比的等比數(shù)列（k≥3，k∈N^*），且對(duì)任意的n∈N^*，都有a_n+2k=a_n成立，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）當(dāng)k=5時(shí)，求a₄₈的值；
（2）判斷是否存在k，使a_64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意分別求出等差、等比數(shù)列對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，由k=5和a_n+2k=a_n成立求出數(shù)列的周期，由周期性求出a₄₈；
（2）先假設(shè)存在，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解判斷即可．

解答： 解：（1）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，a_k=4+（k-1）（-2）=-2k+6，
由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，a_k+n=

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2

×(

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)n-1=(

1

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)n，
∵對(duì)一切正整數(shù)n，都有a_n+2k=a_n成立．
∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為2k．
當(dāng)k=5時(shí)，周期為10，所以a₄₈是等比數(shù)列中的第三項(xiàng)，
所以a48=(

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2

)3=

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；
（2）假設(shè)存在k，使a_64k+3≥230成立，
因?yàn)閿?shù)列為周期數(shù)列，且周期為2k，
所以a_64k+3=a₃=0≥230不成立，
故不存在k使a_64k+3≥230成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列表示法，數(shù)列的周期性，及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．