在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，
（Ⅰ）設(shè)bn=
an
2n-1
，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{
n2
an
}的前n項(xiàng)和Sn．
分析：（I）要證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，只要證明bn+1-bn=d（常數(shù)），結(jié)合已知遞推公式可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
an
2n-1
，從而可求
n2
an
，利用錯(cuò)位相減可求數(shù)列的和
解答：（Ⅰ）證明：由an+1=2an+2n得bn+1=
an+1
2n
=
2an+2n
2n
=
an
2n-1
+1=bn+1
又b1=a1=1，因此數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
an
2n-1
，
∴an=n•2n-1，
∴
n2
an
=
n
2n-1

則Sn=1+
2
2
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1
，…(1)
1
2
Sn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+
4
24
+…
n-1
2n-1
+
n
2n
，…(2)
（1）-（2）得
1
2
Sn=1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
-
n
2n
．
=
1•[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
-
n
2n
=2-(2+n)
1
2n
．
∴Sn=4-(2+n)
1
2n-1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列，及等差數(shù)列的定義在證明中的應(yīng)用，數(shù)列的錯(cuò)位相減求和方法的應(yīng)用
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項(xiàng)和Sn=n2an，求an+1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案