Question

13．在圓x²+y²=5x內(nèi)，過點(diǎn) （${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）有n條弦的長(zhǎng)度成等差數(shù)列，最小弦長(zhǎng)為數(shù)列的首項(xiàng)a₁，最大弦長(zhǎng)為a_n，若公差d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，那么n的取值集合為（　　）

• A． {4，5，6，7}
• B． {4，5，6}
• C． {3，4，5，6}
• D． {3，4，5，6，7}

Answer 1

分析 先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)計(jì)算出過點(diǎn)（${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）的最短弦長(zhǎng)和最長(zhǎng)弦長(zhǎng)，即等差數(shù)列的第一項(xiàng)和第n項(xiàng)，再根據(jù)等差數(shù)列的公差d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，求出n的取值集合．

解答 解：將圓x²+y²=5x轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{25}{4}$，則圓心為C（$\frac{5}{2}$，0），半徑為r=$\frac{5}{2}$，
過點(diǎn)P（${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）最短弦的弦長(zhǎng)為a₁=2 $\sqrt{{r}^{2}-丨PC{丨}^{2}}$=4
過點(diǎn)P ${\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}}$）最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為圓的直徑長(zhǎng)a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，
d=$\frac{1}{n-1}$，
∵d∈[${\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}}$]，
∴${\frac{1}{6}$＜$\frac{1}{n-1}$＜$\frac{1}{3}}$，
∴4≤n≤7．
∴n的取值為：4，5，6，7
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，解題時(shí)要學(xué)會(huì)使用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的弦長(zhǎng)問題，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．