Question

【題目】如圖，菱形與正三角形的邊長均為，它們所在平面互相垂直，平面，平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）取中點(diǎn)，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得，進(jìn)而可證明出平面，并推導(dǎo)出平面，可得出三棱錐的高為，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.

（1）在菱形中，，

平面，平面，，

又，平面，

而平面，平面平面；

（2）取中點(diǎn)，連接、，

為正三角形，，

平面平面，交線為，平面，平面，

平面，，

平面，平面平面，平面，，

四邊形為平行四邊形，，

過點(diǎn)作于點(diǎn)，

平面平面，平面平面，平面，

則平面，

，平面，平面，平面，

則的長為到平面的距離，

因此，三棱錐的體積為.