Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a-

1

2

，當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，函數(shù)f（x）的最大值與最小值的和為

1

2

．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）作出y=f（x）在x∈[0，π]上的圖象．（不要求書寫作圖過程）

Answer 1

分析：（1）逆用正弦和余弦的二倍角公式來降冪，用輔角公式把三角函數(shù)整理成Asin（ωx+φ）的形式，得到周期和單調(diào)遞減區(qū)間，最后結(jié)果要寫成區(qū)間的形式．
（2）根據(jù)所給的變量的范圍，得到三角函數(shù)的值域，由最大值與最小值的和為

1

2

，求出字母系數(shù)a，在坐標系中用五點法做出函數(shù)的圖象，坐標系的幾個元素不要忽略．

解答：解：（I）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a-

1

2

=sin(2x+

π

6

)+a，
∴T=π，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤ 

3π

2

+2kπ，
得

π

6

+kπ ≤x≤

2π

3

+kπk∈z
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]k∈z．

（II）∵-

π

6

≤x≤

π

3

，
∴-

π

6

≤ 2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，
原函數(shù)的最大值與最小值的和-

1

2

+a+1+a=

1

2

，
解得a=0．
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)，圖象如圖．

點評：本題綜合考查三角函數(shù)的變換和性質(zhì)，包括周期、單調(diào)性、函數(shù)的值域、函數(shù)的圖象，這是一個綜合題目，也是高考必考的一種類型的題目，屬于容易題，是一個送分的題．