在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,滿足bcosC=(2a-c)cosB.
(Ⅰ)求角B的大;
(Ⅱ)設(shè)f(x)=cos(ωx-
B
2
)+sinωx(ω>0),且f(x)的最小正周期為π,求f(x)在區(qū)間[0,
π
2
]的最大值和最小值.
考點:兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù),正弦定理
專題:三角函數(shù)的求值
分析:(Ⅰ)變形已知結(jié)合正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,進而可得cosB=
1
2
,可得B=
π
3
;(Ⅱ)化簡可得f(x)=
3
sin(ωx+
π
6
),由周期可得ω=2,由x的范圍可得sin(2x+
π
6
)的范圍,進而可得最值.
解答: 解:(Ⅰ)∵bcosC=(2a-c)cosB,
∴bcosC+ccosB=2acosB,
由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,
∴sin(B+C)=sinA=2sinAcosB,
∴cosB=
1
2

又∵B∈(0,π),∴B=
π
3

(Ⅱ)由已知f(x)=cos(ωx-
B
2
)+sinωx
=cos(ωx-
π
6
)+sinωx=
3
2
cosωx+
3
2
sinωx
=
3
sin(ωx+
π
6

由已知得
ω
=π,解得ω=2
∴f(x)=
3
sin(2x+
π
6

當(dāng)x∈[0,
π
2
]時,2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
],sin(2x+
π
6
)∈[-
1
2
,1],
∴當(dāng)x=
π
6
時,f(x)的最大值為
3

當(dāng)x=
π
2
時,f(x)的最大值為-
3
2
點評:本題考查兩角和與差的正余弦公式,涉及正弦定理和三角函數(shù)的最值,屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

根據(jù)要求,求x的取值范圍:
(1)tan
x
2
3
;
(2)cot2x≤-
3
;
(3)|sinx|≤|cosx|;
(4)logxtanx>0;
(5)log
3
sin
x
2
-log
3
cos
x
2
>-1且-2π<x<2π.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
ax+b
x-a
(b>0),若f(x)>a+1的解集是(1,5),求實數(shù)a、b的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=2ax-
1
x
-(2+a)lnx(a≥0)
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的極值;
(2)當(dāng)a>0時,討論f(x)的單調(diào)性;
(3)若對任意的a∈(2,4),x1,x2∈[1,3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1)-f(x2)|成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-4lnx-
1
2
ax2+x,其中a∈R.
(Ⅰ)若a=-
1
2
,求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)若存在兩個整數(shù)m,n,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,n)上是增函數(shù),且(m,n)⊆(0,a+4),求n的最大值,及n取最大值時a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知平面內(nèi)點P(x,y)滿足不等式(x+2y-1)(x-y+3)≥0,求x2+y2的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合I={1,2,3,4,5,6},選擇集合I的兩個非空子集A和B,要使集合B中最小的數(shù)大于集合A中最大的數(shù),則不同的選擇方法共有
 
種.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計算
π
(1+sin2x)dx=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上,則此直角三角形的斜邊長是
 

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