①
分析:根據(jù)韋達(dá)定理及一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系,可以判斷①的真假;根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),可以判斷②的真假;根據(jù)函數(shù)的對稱性及軸對稱函數(shù)解析式與對稱軸的關(guān)系,可以判斷③的真假;根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)定義域的求法,根據(jù)已知求出函數(shù)y=f(x)的定義域,即可得到答案.
解答:若方程x
2+(a-3)x+a=0有一個正實根,一個負(fù)實根,則△>0,且x
1•x
2=a<0,解得a<0,故①正確;
若冪函數(shù)
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的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點,則m
2+2m-3≤0,解得m的取值范圍為[-3,1];
若f(x+1)為偶函數(shù),則表示函數(shù)若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,而f(x+1)=f(-x-1)表示f(x)的圖象關(guān)于直線x=0(y軸)對稱,故③錯誤;
若函數(shù)y=f(2
x)的定義域為[1,2],則函數(shù)y=f(x)的定義域為[2,4],故④錯誤;
故答案為:①
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),冪函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)鍵,熟練掌握函數(shù)與方程之間的辯證關(guān)系,掌握初等基本函數(shù)的性質(zhì)是解答此類問題的關(guān)鍵.