Question

已知橢圓的頂點與雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦點重合，它們的離心率之和為

13

5

，若橢圓的焦點在x軸上，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：先求出雙曲線的焦點及離心率，根據(jù)已知條件求出橢圓的離心率及焦距，利用橢圓的三個參數(shù)的關(guān)系，求出橢圓中的三個參數(shù)，求出橢圓的方程．

解答：解：設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
其離心率為e，焦距為2c，
雙曲線

y2

4

-

x2

12

=1的焦距為2c₁，離心率為e₁，（2分）
則有：c₁²=4+12=16，c₁=4                                      （4分）
∴e1=

c1

2

=2（6分）
∴e=

13

5

-2=

3

5

，
即

c

a

=

3

5

①（8分）
又b=c₁=4    ②（9分）
a²=b²+c²③（10分）
由①、②、③可得a²=25
∴所求橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1（12分）

點評：本題考查橢圓雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵．