Question

設函數f（x）=

x

ax+b

（a，b為常數，a≠0），若f（1）=

1

3

，且f（x）=x只有一個實數根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列{a_n}滿足關系式：a_n=f（a_n-1）（n∈N且n≥2），又a1=-

1

2005

，證明數列{

1

an

}是等差數列并求{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（1）=

1

3

，可得a+b=3，根據f（x）-x=0只有一個實數根，可得

1-b

a

=0，從而可求函數解析式；
（Ⅱ）由a_n=f（a_n-1）得：a_n=

an-1

2an-1+1

，從而可得

1

an

-

1

an-1

=2(n≥2)，由此可得{

1

an

}是首項為-2005，公差為2的等差數列，從而可求數列的通項．

解答：（Ⅰ）解：由f（1）=

1

3

，可得a+b=3，…①
又由f（x）-x=0得：x[ax-（1-b）]=0，
∵方程只有一個實數根，∴

1-b

a

=0  …②
由①②得：a=2，b=1，
則f（x）=

x

2x+1

（Ⅱ）證明：由a_n=f（a_n-1）得：a_n=

an-1

2an-1+1

∴

1

an

-

1

an-1

=2(n≥2)
∴{

1

an

}是首項為-2005，公差為2的等差數列，
∴

1

an

=-2005+2（n-1）=2n-2007
∴a_n=

1

2n-2007

點評：本題考查數列的通項，考查函數的解析式，考查等差數列的證明，確定函數的解析式是關鍵．