Question

不等式|x-2|+|x|≥a-

3

a

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，-1]∪（0，3]

．

Answer 1

分析：利用絕對(duì)值的意義可得|x-2|+|x|的最小值為2，故有 2 ≥a-

3

a

，即

a2-2a-3

a

≤0，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：不等式|x-2|+|x|≥a-

3

a

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，由于|x-2|+|x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2和0對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為2，
故有 2 ≥a-

3

a

，即

a2-2a-3

a

≤0．
解得 0＜a≤3 或 a≤-1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （-∞，-1]∪（0，3]，
故答案為 （-∞，-1]∪（0，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式、分式不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．