AB為圓O的直徑,點E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。
(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值;
(III)求多面體ABCDFE的體積。
(I)先證AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF;
由AB為圓O的直徑,得AF⊥BF,且AF∩AD=A,可得BF⊥平面DAF;
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(II) ;
(III)
【解析】
試題分析:(I)證明:因為平面ABCD⊥平面ABEF,AD⊥AB,
∴AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF;
又∵AB為圓O的直徑,∴AF⊥BF,
AF∩AD=A,
∴BF⊥平面DAF; 4分
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(II)取AB,CD,EF的中點M,P,N(如圖所示)
易證∠MPN為所求二面角的平面角。
根據(jù)題意
故
9分
(III)作為垂足,則
12分
考點:本題主要考查立體幾何中的垂直關系、角及體積計算。
點評:中檔題,立體幾何題,是高考必考內容,往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中,有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算”的步驟,利用空間向量,省去繁瑣的證明,也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。本題中體積計算利用了整體與局部的關系。
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